Algorithmique des courbes elliptiques dans les corps finis - Université de Rennes Access content directly
Theses Year : 1997

Algorithms for elliptic curves over finite fields

Algorithmique des courbes elliptiques dans les corps finis

Abstract

This thesis deals with computations of cardinality of elliptic curves which are defined over a finite field. In a first part, we study Schoof's algorithm and variants due to Atkin and Elkies. We show how these algorithms, initially designed for finite fields of large characteristic, can be applied to fields of small characteristic. It turns out that most of Atkin's and Elkies' ideas can be used in the last case, except for computing isogenies between elliptic curves. We therefore study five algorithms for computing isogenies in the second part. First algorithm is Atkin's original algorithm for fields of large characteristic. Second and the third are Couveignes's algorithms for finite fields of small characteristic. Finally, we propose a fourth algorithm specially designed for finite fields of characteristic two, and we show in fifth algorithm, how we can extend these ideas for finite fields of odd characteristic p and isogenies of degree l smaller than 2p. From a practical point of view, we explain how we have programmed the previous algorithms in a third part. In particular, we introduce ZEN, a programming library written in C-language which efficiently computes in every finite extension over a finite ring. Then, we explain how we used the obtained program for efficiently computing number of points of curves defined over any finite fields whose number of points is smaller than 10^100. Moreover, we describe how we can find elliptic curves with good cryptographic properties.
Cette thèse est consacrée au calcul du nombre de points d'une courbe elliptique définie sur un corps fini. Nous étudions dans une première partie l'algorithme de Schoof et ses variantes dues à Atkin et à Elkies. Nous montrons ainsi en quelle mesure ces algorithmes, initialement prévus pour des corps de grande caractéristique, peuvent s'appliquer à ceux de petite caractéristique. Il s'avère que la majeure partie des idées d'Atkin et Elkies sont applicables à cette dernière famille de corps, à quelques modifications mineures près, excepté le calcul d'isogénies entre courbes elliptiques. C'est pourquoi, nous étudions dans une deuxième partie cinq algorithmes de calcul d'isogénies. Le premier algorithme est l'algorithme original d'Atkin pour le cas des corps de grande caractéristique. Les deuxième et troisième algorithme sont ceux de Couveignes pour les corps de petite caractéristique. Enfin, nous proposons à notre tour un quatrième algorithme pour le cas spécifique de la caractéristique deux et montrons dans un cinquième algorithme comment ces idées peuvent se généraliser à des corps de caractéristique p impaire pour des isogénies de degré l borné par 2p. D'un point de vue plus pratique, nous explicitons dans une troisième partie les méthodes de programmation mises en oeuvre pour implanter les algorithmes précédents. Nous y présentons notamment ZEN, une librairie de calcul qui permet une programmation efficace en langage C de toute extension algébrique d'un anneau fini. Enfin, nous expliquons comment nous utilisons le programme obtenu pour calculer efficacement le nombre de points de courbes définies dans tout corps finis à moins de 10^100 éléments. En particulier, nous montrons comment trouver ainsi des courbes elliptiques ayant de bonnes propriétés cryptographiques.
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Dates and versions

tel-01101949 , version 1 (10-01-2015)

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  • HAL Id : tel-01101949 , version 1

Cite

Reynald Lercier. Algorithmique des courbes elliptiques dans les corps finis. Informatique [cs]. Ecole Polytechnique, 1997. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01101949⟩
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