Contraction par Frobenius et modules de Steinberg
Résumé
For a reductive group G defined over an algebraically closed field of positive characteristic, we show that the Frobenius contraction functor of G-modules is right adjoint to the Frobenius twist of the modules tensored with the Steinberg module twice. It follows that the Frobenius contraction functor preserves injectivity, good filtrations, but not semisiplicity.
Soit G un groupe réductif défini sur un corps algébriquement clos de caractéristique positive. Nousmontrons que le foncteur contraction par Frobenius de la catégorie des G-modules est adjoint à droitede celui de tensorisation deux fois par le module de Steinberg du tordu de Frobenius du G-modulede départ. Il s’ensuit en particulier que le foncteur de contraction par Frobenius préserve le caractèreinjectif et l’existence de bonne filtration mais pas la semi-simplicité.